Séminaire du SEG, série spéciale: problèmes du millénaire en mathématiques
Composée par le Clay Mathematics Institute au tournant du millénaire, la liste de 7 problèmes couvre un large pan des mathématiques modernes en proposant des défis très difficiles et encore tous non résolus, à une exception près !
Ces problèmes sont donc tous ardus et il est souvent parfois même compliqué de comprendre leur formulation. L’objectif de cette série d’exposés est de familiariser l’audience avec le contexte de chaque problème ainsi que de comprendre en quoi ils sont importants pour le paysage mathématique du 21ème siècle. Bien sûr, on ne saura éviter les aspects techniques, mais l’accent sera également mis sur l’aspect historique de ces problèmes.
Printemps 2022
Jeudi 16 juin 2022 à 13h30 (B-1404)
La conjecture de Hodge
Clément Hyvrier (CIRGET et Collège de St-Laurent)
Une encyclopédie dont je tairai le nom décrit l’Ecosse en ces termes: « des collines, de la tourbe, peu d’arbres, des jupes (Kilts), un accent, de très bons alcools (Scotch), des oeufs savoureux pour les accompagner (Scottish eggs), un sens culinaire aussi génial qu’absurde (Haggis et fried mars bar, dans l’ordre qu’il vous plaît), et des « problèmes à un million de dollar » (L’appartenance à l’Europe et La conjecture de Hodge entre autres). »
Par souci de concision, et faute de temps, nous nous pencherons sur cette conjecture introduite en 1950 qui dit, dans sa forme moderne, que certaines classes analytiques (dites de Hodge) d’une variété algébrique projective compacte (complexe) sont algébriques sur les rationnels.
Après avoir précisé les termes de cet énoncé fort vague, tout en omettant les détails techniques au maximum, nous en expliquerons l’origine ainsi que certains développements autour de cette question permettant, je l’espère, de mieux en saisir la portée.
Vendredi 3 juin 2022 à 13h30 (B-1506)
P vs. NP
Xavier Provençal (ÉTS)
Est-il plus difficile de trouver la solution à un problème que de convaincre les autres que la solution qu'on a trouvée est bonne ? Dans certains cas, notre intuition nous porte à croire que oui. Par exemple, trouver une solution à un système d'équations est habituellement plus difficile que d'en vérifier la validité.
La théorie de la complexité est une branche de l'informatique théorique qui s'intéresse à ce genre de questions. On y définit une hiérarchie de classes de problèmes basée sur la quantité de travail nécessaire pour les résoudre. On définit entre autres les classes P (problèmes pour lesquels une solution est "facile" à trouver) et NP (problèmes pour lesquels une solution est "facile" à valider). En 1971 Stephen Cook et Leonid Levin ont posé la question : est-ce que P = NP ? Autrement dit, existe-t-il un problème pour lequel il est significativement plus facile de valider une solution plutôt que d'en trouver une.
Dans cet exposé, nous allons présenter une introduction à la théorie de la complexité des algorithmes afin de définir formellement les classes P et NP. Dans un deuxième temps, nous présenterons la théorie de la NP-complétude. Cette théorie permet de comprendre toute la portée de cette question, ainsi que ses implications sur de nombreux problèmes algorithmiques concrets.
Hiver 2022
Vendredi 8 avril 2022 à 13h30 (B-1516)
La conjecture de Poincaré
Guillaume Roy-Fortin (ÉTS)
Si on prend un élastique et qu’on le place sur la surface d’une pomme, il est possible de l’étirer et de le contracter en un petit point, simplement en le déplaçant délicatement sans jamais lui faire quitter la surface de la pomme. Par contre, si on attachait le même élastique sur la paroi d’un beigne en le faisant passer par le trou, il serait alors impossible de faire la même chose. On dit donc que la pomme est simplement connexe alors que la surface d’un beigne ne l’est pas. Il y a plus de 100 ans, Poincaré savait que cette propriété caractérisait une sphère de dimension deux et il s’est donc questionné si la même chose était vraie pour une sphère de dimension 3. Il aura fallu attendre plus de 100 ans avant que les spectaculaires articles de Perelman viennent fournir une réponse à la célèbre conjecture de Poincaré.
Dans cet exposé, nous allons présenter les divers objets mathématiques nécessaires pour comprendre l’énoncé de la conjecture, en brosser un survol historique et finalement présenter quelques éléments essentiels à la preuve de Perelman. On tâchera de limiter le plus possible les éléments techniques !
Vendredi 1er avril 2022 à 13h30 (B-1516)
L'hypothèse de Riemann
Michel Beaudin (ÉTS)
Faire un exposé sur l’hypothèse de Riemann représente un défi intéressant pour un enseignant qui n’est pas un spécialiste de la question. Mais cela est une formidable occasion de relier plusieurs événements survenus dans l’histoire et de montrer que certains résultats obtenus par Euler, Gauss et plusieurs autres ont pavé la voie à l’article écrit par Riemann en 1859. Article dans lequel sa fameuse hypothèse apparaît après qu’il se soit intéressé à son tour à la question du nombre de nombres premiers inférieurs à une quantité donnée. En effet, Riemann a prolongé aux plan complexe la série définissant la fonction ζ qu’on savait déjà reliée à un produit de nombres premiers. Cela lui a permis de faire sa fameuse hypothèse : les zéros non triviaux de la fonction ζ ont tous pour partie réelle ½. Donc ils seraient tous situés sur la droite critique. On ne sait toujours pas si cette hypothèse est vraie mais les 10 billions de zéros non triviaux de la fonction ζ trouvés à ce jour sont tous situés sur cette droite critique ! Et si l’hypothèse de Riemann est vraie, alors elle améliorera notre connaissance de la répartition des nombres premiers (et des centaines d’autres résultats en découleront).
Nous tenterons de rendre la présentation intéressante pour chacune des personnes en définissant les fonctions requises et en montrant des liens avec certains de nos cours de mathématiques.
La technologie dont nous disposons aujourd’hui devrait nous permettre de mieux illustrer notre propos.